Livre B : Mécanique classique, relativiste et quantique.

Livre B

La mécanique est un vaste domaine.

Nous commencerons par la mécanique du point classique (chapitres I à IV) ; c'est le socle sur lequel reposent les extensions de la mécanique aux systèmes, aux solides, aux fluides, etc. Il importe donc qu'il soit construit de façon solide et rigoureuse.

On passe ensuite à la mécanique du point relativiste (ch. V et VI) qui a été une révolution dans notre conception du temps et de l'espace. Elle a servi de tremplin pour une autre révolution, traitée un peu plus loin, celle de la relativité générale.

On passe de la mécanique classique du point à celle des systèmes puis celle des solides (ch. VII et VIII). On a pris le parti ici de bien distinguer les théorèmes applicables aux systèmes de points matériels et ceux applicables uniquement aux solides indéformables. On aborde ensuite, de façon modeste, la théorie de l'élasticité (ch. IX) et ses aspects principaux.

Un chapitre transversal (ch. X) traite des chocs ponctuels classiques et relativistes et des chocs de solides.

On aborde ensuite la mécanique des fluides (ch. XI à XIV), un sujet vaste et délicat, encore l'objet de nombreuses études. Elle ne peut être abordée uniquement par voie théorique, l'expérience et la modélisation par de puissants ordinateurs sont incontournables. On ne verra ici qu'un marchepied vers la pratique de la mécanique des fluides. Seuls le chapitre sur la statique des fluides et la capillarité (ch. XI) et celui sur les ondes dans les fluides (ch. XIV) se suffisent à eux-mêmes.

Suit une brève exploration de la mécanique lagrangienne et hamiltonienne (ch. XV) qui n'est pas ici présentée pour elle-même mais parce qu'elle sous-tend la mécanique quantique et ne sera donc pas approfondie.

On poursuit par une initiation à la mécanique quantique (ch. XVI à XIX) où l'on met en place le formalisme et ou l'on démontre les règles de quantification utiles à la thermodynamique statistique et, en chimie, à l'atomistique de base.

On termine enfin par une initiation à la relativité générale (ch. XX et XXI) qui est une théorie de la gravitation. On y met en place l'outil de la géométrie riemannienne et l'on y montre la genèse des idées et quelques unes des premières conséquences.

Voici la liste des chapitres de ce livre :

• B-I : cinématique du point (28 p./ 0,5 Mo) : l'espace et le temps, vitesse et accélération, repère et référentiel, composition des vitesses et accélérations dans un changement de référentiel, coordonnées cylindriques et sphériques, abscisse curviligne et courbure.
• B-II : dynamique du point (19 p./ 0,4 Mo) : l'axiomatique et quelques exemples.
• B-III : référentiel géo- ou hélio-centrique ? (25 p./ 1,9 Mo) : référentiels de Copernic, de Foucault, terrestre, les marées, la pesanteur, le pendule de Foucault.
• B-IV : problème à deux points, mouvements à force centrale (51 p./ 1,1 Mo) : réduction du problème à deux points, lois de Kepler, mouvements à force centrale, mesures astronomiques, perturbation des orbites.
• B-V : un peu de mécanique céleste : points de Lagrange, ellipse de Hohmann (26 p./ 0,6 Mo) : exemples d'applications de la mécanique du point à la mécanique céleste.
• B-VI : cinématique relativiste (37 p./ 0,9 Mo) : historique, expérience de Michelson-Morley, principe de relativité et invariance de la vitesse de la lumière, matrice de Lorentz, contraction des longueurs, dilatation du temps, quadrivecteurs, composition des vitesses, formules relativistes de l'effet Doppler et de l'aberration.
• B-VII : dynamique relativiste (12 p./ 0,3 Mo) : expressions relativistes de la quantité de mouvement et de l'énergie, quadrivecteur énergie-impulsion et force, non-parallélisme entre force et accélération, mouvement à force constante, le cas du photon.
• B-VIII : de la dynamique des systèmes à celle des solides (35 p./ 0,4 Mo) : mécanique des systèmes, référentiel barycentrique et formules de König, champ des vitesses d'un solide et vecteur rotation, matrice d'inertie, lois de la mécanique du solide, torseurs.
• B-IX : solides en mouvements (62 p./ 0,9 Mo) : statique du solide, mouvement pendulaire, mouvement sur un support, mouvement autour d'un point fixe, mouvement gyroscopique, solide articulé.
• B-X : introduction à la théorie de l'élasticité (51 p./ 1,0 Mo) : déformations et contraintes, loi de Hooke, situations classiques,ondes élastiques, un mot sur la viscosité.
• B-XI : chocs entre points (classiques et relativites) et entre solides (39 p./ 0,8 Mo) : chapitre thématique commun à la mécanique du point, à la mécanique du solide et à la mécanique relativiste.
• B-XII : statique des fluides, capillarité (46 p./ 1,1 Mo) : champ de pression dans un liquide et dans un gaz, poussée d'Archimède, corps flottants, aérostat ; capillarité, loi de Laplace, loi de Jurin, forme de la surface d'un liquide.
• B-XIII : les outils théoriques de la mécanique des fluides (24 p./ 0,5 Mo) : quasi-particule (approche mésoscopique), la dérivée particulaire comme synthèse des points de vue lagrangien et eulérien, écoulements permanents, incompressibles et/ou irrotationnels, pression et viscosité, couche limite, traînée d'une sphère.
• B-XIV : éléments de mécanique des fluides (96 p./ 1,8 Mo) : théorèmes de Bernoulli et applications, recherche d'écoulements parfaits, irrotationnels, stationnaires et incompressibles, formule d'Euler et applications, écoulements rotationnels, non-stationnaires, compressibles, avec forces de Coriolis, avec forces de Laplace ou encore visqueux.
• B-XV : ondes sonores dans les fluides, ondes de surface (56 p./ 1,1 Mo) : propagation du son, tuyaux sonores, modèle de Saint-Venant, onde de gravitation et de capillarité, sillages de Mach et de Kelvin.
• B-XVI : initiation à la mécanique lagrangienne et hamiltonienne (26 p./ 0,4 Mo) : comme lien entre la mécanique classique et la mécanique quantique.
• B-XVII/D-IX : aspects corpusculaires de la lumière (21 p./ 0,5 Mo) : chapitre commun à l'optique et à la mécanique quantique : rayonnement du corps noir, effet photoélectrique, modèle de Bohr de l'atome, effet Compton, relations d'incertitude de Heisenberg.
• B-XVIII : genèse, outils et axiomatique de la mécanique quantique (33 p./ 0,4 Mo) : genèse de l'équation de Schrödinger, arrière plan mathématique et axiomatique de la mécanique quantique, premiers exemples.
• B-XIX : particule dans un potentiel harmonique ou colombien (19 p./ 0,4 Mo) : résolutions "classique" et avec opérateurs dans le cas harmonique, "classique" dans le cas coulombien.
• B-XX : le moment cinétique en mécanique quantique (40 p./ 0,5 Mo) : moment cinétique orbital, règles de quantification, expérience de Stern et Gerlach, spin de l'électron, addition des moments cinétiques.
• B-XXI : espaces courbes, le minimum vital (26 p./ 0,4 Mo) : espaces de Riemann, dérivation covariante, tenseur de courbure.
• B-XXII : la relativité générale, une théorie de la gravitation (39 p./ 0,5 Mo) : formulation covariante de la loi de la mécanique, de celle de la gravitation (équation d'Einstein), précession du périhélie de Mercure, déviation de la lumière, cosmologie.